피보나치 수열과 황금분할

피보나치 수열

[ Fibonacci sequence ]

첫 번째 항의 값이 0이고 두 번째 항의 값이 1일 때, 이후의 항들은 이전의 두 항을 더한 값으로 이루어지는 수열을 말한다.

이를테면, 제3항은 제1항과 제2항의 합, 제4항은 제2항과 제3항의 합이 되는 것과 같이, 인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 되는 수열이다. 즉, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… 인 수열이며, 보통 a₁＝a₂＝1, a_n＋a_n+1＝a_n+2 (n＝1,2,3…) 로 나타낸다. 이것은 L.피보나치가 1202년 《산술(算術)의 서(書)》에서 처음으로 제기하였다. 이렇게 단순한 수열이 중요해진 것은 이 수열이 자연계의 일반법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문이다.

피보나치 수열의 인접한 두수의 비(뒷수와 앞수의 비)를 분수의 형태로 하여 수열을 만들면,



또는



와 같이 되는데, 이 두 수열은 각각

(√5－1)/2＝0.6180339…와
(√5＋1)/2＝1.6180339…

에 수렴한다. 이것은 황금분할의 비로 잘 알려진 수로, 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다. 예를 들어, 솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽나선과 왼쪽나선을 이루며 교차하고 있는데, 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있다. 5와 8은 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항이다. 이 밖에도 식물 중에는 꽃잎의 배열이 13:8 또는 34:21 등으로 되어 있는 경우가 많다.

또한 앵무조개의 달팽이 모양 껍데기의 구조도 황금분할의 비를 잘 보여 준다. 이러한 황금분할의 비는 예로부터 자연계의 가장 안정된 상태를 나타내는 것으로 알려져 있으며, 수학·음악·미술 등의 분야에서 매우 중요하게 다루어졌다. 레오나르도 다 빈치의 미술작품들이 철저히 황금분할을 이용한 것이라든지, 음악에서 고전파의 소나타 형식이 황금분할의 비를 나타내고 있는 것 등이 그 예이다. 특히 B.바르토크의 《현악기와 타악기 및 첼리스트를 위한 음악》은 피보나치 수열에 따라 새로운 주제의 도입, 악기의 배치, 음색 변경 등의 시점을 정한 것으로 유명하다.

참조항목

수열, 잎차례

역참조항목

황금분할, 엘리엇 파동이론

출처

두산백과

[출처] 피보나치 수열 | 두산백과

자연의 신비-피보나치 수열자연의 신비/ 신을 찾는 여정 2013/03/18 10:32 출처 : http://hands0160.blog.me/30163132230 전용뷰어 보기

피보나치 수열이란 인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 되는 수열이다.

즉, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 인 수열이며, 보통 X1＝X2＝1, Xn＋Xn+1＝Xn+2 (n＝1,2,3…)로 나타낸다. 이렇게 단순한 수열이 중요해진 것은 이 수열이 자연계의 일반법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문이다. 이것은 황금분할의 비로 잘 알려진 수로, 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다.

자연계에 나타난 수학적 원리들 중 대표적인 것들은 황금비, 황금각, 황금 직사각형, 피보나치수열, 대수 나선, 프랙탈 등이 있다. 예를 들어, 솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽나선과 왼쪽나선을 이루며 교차하고 있는데, 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있다.

5와 8은 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항이다. 이 밖에도 식물 중에는 꽃잎의 배열이 13:8 또는 34:21 등으로 되어 있는 경우가 많다. 또한 앵무조개의 달팽이 모양 껍데기의 구조도 황금분할의 비를 잘 보여 준다.

이러한 황금분할의 비는 예로부터 자연계의 가장 안정된 상태를 나타내는 것으로 알려져 있으며, 수학·음악·미술 등의 분야에서 매우 중요하게 다루어졌다.

레오나르도 다 빈치의 미술작품들이 철저히 황금분할을 이용한 것이라든지, 음악에서 고전파의 소나타 형식이 황금분할의 비를 나타내고 있는 것 등이 그 예이다.

황금비 (좌), 황금각 (중), 황금 직사각형 (우). 대수 나선

은하수의 형성, 태풍과 바다의 파도, 기름방울의 퍼짐, 배꼽을 기준으로 머리와 상체의 비율 등, 여러 사례들을 찾다보면 창조주는 정녕 피보나치 수열의 법칙에 의해 우주를 창조했는지도 모른다는 생각을 하게 된다.

피보나치 수열은 해바라기나 데이지 꽃머리의 씨앗 배치에도 존재한다. 최소 공간에 최대의 씨앗을 촘촘하게 배치하는 '최적의 수학적 해법으로 꽃은 피보나치 수열을 선택한다.

피보나치 수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물의 잎차례이다. 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식이다.

잎차례는 t/n로 표시한다.

t번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율이 참나무. 벚꽃. 사과는 2/5이고, 포플러, 장미, 배. 버드나무는 3/8, 갯버들과 아몬드는 5/13이다.

모두 피보나치 숫자다. 전체 식물의 90%가 피보나치 수열의 잎차례를 따르고 있다.

만약 한 번 회전할 때마다 Phi(1.618...)만큼의 잎이 있다면 (혹은 동일하게, phi=0.618...만큼 돌 때 하나의 잎이 생긴다면), 모든 잎은 최소의 그늘 아래서 햇빛에 최적의 상태에 놓여지게 된다.

또한 비가 직접적으로 잎에 닿을 수 있으며 줄기를 통해 뿌리로 내려가게 된다. 꽃의 경우도 수정을 위해 곤충들을 유혹하기 위한 최적의 조건이다.

위에서 살펴본 바와 같이 식물의 잎이나 꽃의 씨의 배열은 모두 황금수에 기초를 두고 있다.

그렇다면 피보나치수가 자연의 생장이나 배열에 나타나는 것은 무엇 때문일까?

이는 피보나치수가 모든 숫자들 중 황금수(phi)에 가장 근접하면서 만들어지기 때문이다.

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그림의 위쪽 식물은 6번 째 잎에서(5개의 잎을 지남) 완전히 한바퀴 돌아 본래의 위치로 돌아왔다.

이 때 시계방향으로는 3번 반 시계방향으로는 2번을 회전하였다.

즉 시계방향으로는 3/5 잎차례, 반 시계방향으로는 2/5잎차례임을 알 수 있다.

아래의 식물은 경우, 8개의 잎을 지나 9번째 잎에서 처음의 위치로 돌아왔으며, 시계방향으로는 5번 반 시계방향으로는 3번 회전하였다.

위와 마찬가지로 시계방향으로는 5/8 잎차례, 반 시계방향으로는 3/8잎차례임을 알 수 있다. 이 수열 또한 앞의 두 항의 분모의 합을 분모로 하고 분자의 합을 분자로 취하는 관계가 성립한다.

이 수열을 피보나치수열과 비교해 보자.

나선잎차례 1/2,1/3,2/5,3/8,5/13...

피보나치수 1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13...

1/1을 제외하고는 각 항의 합이 1임을 확인할 수 있다.

즉 나선잎차례는 반 시계방향으로 나타낸 것이고 피보나치수열은 시계방향으로 나타낸 것이다.

또한 나선잎차례에 의해 계산되는 개도는 점차 극한개도 137.5° 로 가까워짐을 알 수 있다.

식물을 위에서 내려다보면, 위쪽에서 자라는 잎이 아래쪽의 잎을 가리지 않게 배열됨을 알 수 있다. 이것은 더 많은 햇빛을 받고, 줄기를 통해 뿌리로 내려가는 동안 잎에서 많은 빗물을 얻기 위해서이다.

식물의 잎의 형태는 크게 2가지로 분류한다.

1) 줄기의 각 마디에 잎이 1장씩 나는 어긋나기(호생)

이 경우 잎이 줄기의 둘레에 나선상으로 돌기 때문에 '나선잎차례'라고도 하며

굳이 2장에 한정될 필요는 없다.

2) 줄기에 2장씩 잎이 돌려나는 경우는 돌려나기(윤생)이라고 한다.

특히 잎이 2장씩 나는 돌려나기를 마주나기(대생)이라고 한다.

가장 흔한 잎차례인 어긋나기(호생)의 경우 줄기를 중심으로 나는 2개의 잎사이에

일정한 각도를 유지하고 있다(개도).

하지만 이러한 잎차례에 어떠한 수가 허용되는 것이 아닌 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, …형태의

수열이 가장 많은 것을 관찰 할 수 있다.

처음의 잎이 정확히 바로 위에 보일 때까지 식물의 줄기를 따라 몇 번 회전을 했으며

식물의 잎은 몇 개인지 세어보자.

반대방향으로 세어보면 잎의 개수는 같지만 회전의 수는 다름을 알 수 있다.

각각의 방향으로 회전한 숫자와 잎의 숫자는 연속적인 세 개의 피보나치수를 이루고 있다.

데이지 꽃, 솔방울, 모두 인근한 두 피보나치 수열의 조합으로 감겨 있음을 볼수있다.

대수나선을 따라 성장하는 귀바퀴 (좌), 앵무조개 (중), 이 그래프를 통해 보면, 8번째 사각형을 붙이면 두 변 사이의 비율이 거의 일정함을 유지하며 황금비로 수렴함을 알 수 있다.

이 피보나치수열이 만들어내는 것이 등각나선이며 회전수에 관계없이 접선의 각 항상이 일정하다.

황금분할(Golden Section)’이란 미술용어로, 혹은 수학용어로 쓰이는 말이다.

보통 ‘1:1.618’ 정도의 비율을 뜻하는데 흔히 ‘5:8 비율’이라고도 한다.

고대부터 의식적으로, 혹은 무의식적으로 많은 미술작품에 이 비율이 지켜져 왔다.

사람이 시각적으로 안정감을 느끼는 비율이 바로 이 5:8 이라고 한다.

아마도 시각적으로 익숙해졌기 때문일 것이다.

황금 분할에 대한 기하학적 사실(12면체, 20면체)에 비추어 눈의 결정체의 모양 역시 황금비율과 관계해서

생성됨을 알 수있다.

<<얼굴의 황금분할>>

파란색 선은 동공과 입의 바깥쪽 모서리를 정사각형인 윤곽으로 나타낸다.

4개의 파란색 선의 황금분할은 코, 코끝, 콧구멍 속, 입술 윗부분과 귀속 안부분으로 정의된다.

또한 파란색 선은 입술 위부분부터 턱 아래까지의 길이를 나타낸다.

파란색선의 황금분할에 있는 노란색선은 코의 폭, 눈과 눈썹 사이의 길이, 그리고 동공에서

코끝까지의 길이로 정의한다.

노란색선의 황금분할에 있는 녹색선은 눈의 폭, 동공에서 속눈썹과 눈썹사이의 길이, 양쪽 콧구멍사이의 길이를 정의한다.

녹색선의 황금분할에 있는 붉은선은 윗입술에서부터 코 아래까지의 길이와 눈에

여러 차원으로 정의된다.

레오나르도 다빈치의 ‘인체비율’

신체 각 부위는 1:1.618, 즉 약 5:8 의 비율로 나뉘어 있다.